Doris,GEB notes

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哥德尔、艾舍尔、巴赫 —— 集异璧之大成

上篇：集异璧GEB

导言

巴赫：
卡农：一个单一的主题与它自己相伴而奏，加入各个不同声部唱出主题的副本。
  1. 副本：时间上的交错，音高上的交错。
  2. 主题转位：两个主题相对进行。
  3. 副本保存主题信息，从任何一副本中都可以恢复原主题，这种保存信息的方式叫做 同构 。

赋格：建立在一个主题上，以不同的声部、不同的调子、不同的速度或上下颠倒或从后往前地进行演奏。
  1. 特点：第二个声部移高五度或者降低四度进入时，第一声部由第一主题转位第二主题，又称第二主题。
  2. 比卡农更佳自由。
无穷升高的卡农：由C大调一直上升到B大调，之后进入C大调，给人无穷上升的感觉。
  1. 它由三个音部组成。当最高音部演奏主题时，其余两个音部提供卡农式的协奏。这种卡农最大的特点就是神不知鬼不觉地进行变调，使得结尾最后能很平滑地过渡到开头。这种首尾相接的变调使听众有一种不断增调的却又能回到原来的调上的感觉。
  2. 怪圈概念的一个例子。
艾舍尔：
  1. 他的画建立在对称或模式等等这类数学原理上。
  2. 怪圈的紧凑程度：根据阶段而定。阶段越少越紧凑。
  3. 怪圈概念中所隐含的是无穷概念。循环就是一种以有穷方式来表示无休止过程的方法。
  4. 判断怪圈中的真实与虚幻
哥德尔：
  1. 判断一个悖论是否真假：两个悖论都可以互相推出对方。
  2. 用数学推论探索数学推论本身。
  3. 哥德尔不完全性定理 数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判断的命题／这个数论语句在《数学原理》中是不可证的
  4. 这个系统如果有完备性（completeness），相容性（consistency），保守性（conservation）和确定性（decidability），数学研究从此不再需要创造性的工作了，一切定理的发现和证明，归结为在这个形式公理系统下的机械运算。
  5. 哥德尔根据《数学原理》构造出一个简单的包含着皮亚诺算术公理的形式演算系统，称之为PM。哥德尔定理有两个结论，这结论对任何包含有自然数加法和乘法的形式公理系统也成立：
    1. PM如果是相容的（consistent）则是不完备的（incomplete）。
    2. PM不能证明自身的相容性（consistency）。
  6. 具体内容：
第一不完备性定理
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明也不能被否定
第二不完备性定理
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
  1. 该定理揭示在多数情况下,例如在数论或者实分析中,永远不能找出公理的完整集合.可以在公理体系不断加入新的公理,甚至构成无穷的公理集合,但是这样的公理列表不再是递归的,不存在机械的判断方法判断加入的公理是否是该公理系统的一条公理.这对于计算机科学意义重大,在计算机语言中,一阶逻辑的定理是递归可枚举的,然而哥德尔第一不完备定理表明,无法编制这样的程序,通过递归的定理证明,可在有限时间内判断命题真假？

哥德尔定理的证明 大神帖...慢慢看...
wikipedia哥德尔不完备性定理

三部创意

  1. 数字0
  2. 芝诺定理：运动无有：运动从本质上来讲是不可能的。
  3. 阿基力德悖论：飞毛腿永远追不上先跑的乌龟。

第一章：WU谜题

系统形式
  1. 形式系统：波斯特产生式系统
  2. 由WJ开始，通过一系列规则，运用规则得到WJ
  3. WJU系统：只有W、J、U三个字母。
定理、公理、规则
  1. 定理：日常语言中的一种规则，已被证明是真理。（还存在系统中技术上的意义）证明
  2. 公理：人类理性不证的基本事实。（wuj系统中指无偿提供的wj，技术上的意义）判定过程
  3. wju系统中的四条规则又叫生成规则或推理规则。
系统内外
  1. 人类与计算机的区别：人的智能在于解mu谜题的时候会渐渐发现第一个字母永远是w（通过经验发现公理、或通过检查规则理解模式）
  2. 机器永远不会知道自己在做什么而人类可以看出关于自己正在做的事情的一些事实。（观察）
  3. 机械的 － 重复的
跳出系统
  1. 智能可以跳出正在进行的工作，并看了一下已经做了什么。
  2. 在研究形式系统时，很重要的一点是要区分在系统之内的工作，并做出关于系统的判断或说明。
  3. 区分生活中的系统内，系统外很困难，因为生活是由许多连接并交织或者不协调的系统组成的。
W方式，J方式，U方式
  1. J方式＝机方式，机械的工作
  2. W方式＝惟方式，像有思维能力的人一样工作，运用智能和各种方式。
  3. U方式＝无方式，禅宗的处世态度。后面会提到
判定过程
  1. WU谜题中有加长和缩短两种趋向的规则。
  2. 判定非定理：字母测试（不能精细的判断非定理），定理性测试（或许需要无限长的时间）...
  3. 定形式系统的判断过程：一个检验定理的测试，一个总是在有限时间内终结的测试。
  4. 公理必须具有判定过程。

二部创意

  1. 欧几里得第一命题
  2. 逻辑必然性
  3. 推理时增加无穷个假言命题，A+B－Z，可以增加无数个假言命题，但最终都不能推理出Z
  4. 在这场比赛中，每一段逗逼前面的一段长一些（增加假言命题）。

第二章：数学中的意义与形式

pq系统
  1. 辨别某个给出符号串是否是一条公里的方法。
  2. 如果x是一串－，x－qxp－就是一条公理。x－qxp－并不是公理，是公理模型。
  3. 一条生成规则，两边各加相同的－。
判定过程
  1. 继承性判断，例如wju系统中所有的字符串都以w开头。
  2. 形式系统和形式。
  3. 构形良好的符号串／良构符号串：－q－p－
  4. 判定过程：公理模型，产生规则。
  5. pq系统只有加长规则，没有缩短规则，所以每一条定理都可以缩短，剩下最后几个无法再缩短的定理时，有一个是公理模型。
自底向上之别于自顶向下
  1. 通过缩短定理找到公理便是自顶向下的判定过程。
  2. 通过复杂最简单的公理复杂化找到定理是顶底向上的判定过程。例如wju系统中判断。
同构产生意义
  1. q－equal，p－plus，映射加法。
  2. 同构：保存信息的变换。
  3. 同构：两个复杂结构互相映射，并且一个结构的每一部分在另一个结构中都以一个相应的部分。
  4. 较低层次的同构：解释，两个结构中各个部分之间的映射。
  5. 高一点的层次：真理和经过解释的定理之间的存在着对应。
  6. 理想的形式系统：定理同构的反应一部分现实世界。
  7. 存在E和F两个集合，且对于E、F各存在一种运算，我们记作（符号可更换）*和·，对于E、F，*、·分别封闭（即对于任意两个集合内的元素，进行运算之后依然为该集合的元素）。我们说f是一个同构当且仅当f∈Γ（E,F） 和f是一个双射且对于E内的任意元素a，b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F为同一集合E，则说f是一个自同构
有意义的解释与无意义的解释
  1. 无意义的解释，随意的选择。
  2. 有意义的解释，真理和定理相对应，同构存在于定理与现实的某一部分中。
主动意义之别于被动意义
  1. 形式系统中的意义与语言中的意义。
  2. 语言中的意义是制动的，因为知道新的意义是，可以为创造新的规则。（主动意义）
  3. 形式系统中规则都是制定好的，不可以在已建立的定理外增加新的定理。（被动意义）
双重意义！
  1. 解释制药精确地反映现实世界的某种同构，就是有意义的。
  2. 一个系统可以和两种现实世界的不同方面同构，因此可以有两种被动意义。
  3. 二值性
  4. 良构符号串：一个符号一个符号解释时，就会产生合法的句子。
形式系统和现实
  1. 真理同构
  2. 现实和形式系统是互相独立的，并不需要意识到在两者之间存在同构关系
  3. 不能知道新的加法，但可以知道加法座位一种操作的性质。
  4. 现实世界的一切可以变为形式系统。
  5. 印符规则
数学与符号处理
  1. 如何证明同构是否完全？知道关于形式系统及相应领域的每一个细节。
  2. 证明数轮中的某些陈述为真。
算数的基本法则
  1. 结合律，交换律：小正方形，正方体总数量不会改变。4个相乘？
  2. 抽象的数和日常生活中使用的数是不同的。
  3. 无法明确的划分界限。
理想的数
  1. 自然数的性质。
  2. 无穷多个素数：欧几里得定理。
欧几里得的证明
  1. 从1乘到N再加上1，N！+ 1永远不可能被除1和n意外的数字整除。(⊙ω⊙)漂亮！
  2. 从总有一个素数大于N到无穷多个素数的步骤叫做推广。
  3. 存在一个具有模式的结构吧所有滴水不漏的陈述联系到一起。
绕过无穷
  1. 所有本身是有限的但表达的意义是无穷的。
  2. 欧几里得证明可以分成无穷小的步骤，像大脑的工作。
  3. 原子化性质。

无伴奏阿基里斯奏鸣曲

  1. 图形，衬底－白色部分和黑色部分。
  2. 无伴奏因为只有阿基里斯在说话。
  3. 阿基里斯对应图形，而乌龟的话则是衬底。

第三章：图形与衬底

素数之别于合数
  1. 做出一个形式系统，使定理都是Px形状。x代表一串－，且当－的数量为素数时才能成为定理。
  2. 印符操作：系统内一些我们可以使用的极简单的能力。
  3. 构造一个形式系统区别素数和合数。
tq系统
  1. 类似pq系统，t－times，q－equal。
  2. 公理模型：xqxt－
  3. 推理规则：xqytz －> xyqytz－（只有增长规则）
把握合数
  1. 定义一集形如Cx的新定理。
  2. 如果xqy－tz－为定理，Cx为定理。因为x为两个大于一的数的乘积。
  3. J方式＝机方式，机械的工作。
  4. W方式＝惟方式，像有思维能力的人一样工作，运用智能和各种方式。
  5. 以W方式工作时，可能会对符号串和符号串的解释混淆，例如把－－－认作3.
对素数的非法刻划
  1. Cx是否是个定理并非一个鲜明的表达出的印符操作。
  2. 当判断Cx是否为定理时，是系统外的操作。
  3. 需要找的是一个可以纯粹通过印符手段产生非定理表的形式系统而不是在系统外进行一番推理。因为在判断Cx为非定理时，查看音符规则6会发现6代表的是定理表，而为了察看非定理，需要到系统外推理一张非定理表。
  4. C系统中所有的定理都具有一个共同形式，因为都源自一个共同的音符规则集
图形和衬底
  1. 正空间、负空间。
  2. 图形和衬底都是图形：倍流畅的图形
  3. 当衬底是可识别的形状时，他才是图形。
  4. figure－figure图中，因为黑白图形是一样的，所以黑色部分即是白色部分的负空间也是白色部分的变形副本。黑白两种刻划等价。
  5. TNT中的情况如何用图形表达。P94页图
音乐中的图形和衬底
  1. 旋律与伴奏。
  2. 巴赫的音乐里很多声部同时起着图形作用。
  3. 强半拍和弱半拍来区分图形和衬底。
递归可枚举集之别于递归集
  1. 负地表示出来的数是否可用正地表现出来？不可以
  2. 存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）
  3. 因为图形及其在衬底带有不完全相同的信息。
  4. 不完全？
  5. 存在非递归的递归可枚举集
  6. 递归可枚举－流畅可画出（印符规则生产），递归－倍流畅（不仅本身是递归可枚举，补集也是递归可枚举）
  7. 存在一些形式系统，他们没有用印符规则表示的判定过程。
  8. 用印符表述的判定过程来判断定理非定理
  9. 并非所有的形式系统都有用印符规则表述的判定过程。
  10. 许多re集是以任意次序添加元素的。
素数作为图形而非衬底
  1. 跳过乘法，直接吧不可整除性当作要正面表示的东西。
  2. BZC公理模型：xyBZCx
  3. 规则：若xBZCy是个定理，则xBZCxy是个定理。
  4. z到知道X的数内没有因子。
  5. 无因子性。
  6. 单调性单向性，没有加长与缩短，增大与减小，只是从2除到X。
  7. 这种形式系统的潜在复杂性。

对位藏头诗

  1. 粉碎唱机的音乐：唱机不能播放的音乐集合
  2. 高保真唱机自我震碎，低保真唱机直接证明不完备。
  3. 有缺陷、不完备定义在使用者的期望上。
  4. 唱机欧米伽
  5. 不完备－哥德尔自指结构。（对于每个相机，都以一个它不能播放的唱片，因为后者会导致前者自摧毁）
哥德尔定理证明了机 械论是错误的，因为，无论我们造出 多么复杂的机器，只要它是机器，就 将对应于一个形式系统，就能找到一 个在该系统内不可证的公式而使之受 到哥德尔构造不可判定命题的程序的 打击，机器不能把这个公式作为定理 推导出来，但是人心却能看出它是真 的。因此这台机器不是心的一个恰当 模型。

  1. BACH旋律
  2. 形式本身具有的可能性几乎是无限的。

第四章：一致性、完全性与几何学

隐含意义与鲜明意义
  1. 当规则支配的符号与真实世界中的事物产生同构时，需要用软、硬的设备从符号中抽出意义－意义如何形成
  2. 当一个同构很熟悉、简单，这个同构对于我们来说意义是显明的。语言。
  3. 语言中，词与意义产生了同构。
对位藏头诗的明显意义
  1. 意义层次
  2. 唱片上纹道两层意义：音乐意义（空气中一系列震颤）、震颤序列
  3. 震颤序列的两个相继同构－高脚杯
《对位藏头诗》的隐含意义
  1. 对话前半部分与后半部分同构，唱机变成小提琴，
  2. 两个层次上的倒戈。
  3. 自身结构同构于所描述的事件。
《对位藏头诗》与哥德尔定理之间的映射
  1. 哥德尔定理很大程度上是依赖于数论的陈述有两个不同层次上的意义。
  2. 对位藏头诗可分为两个哥德尔定理的同构副本。
赋格的艺术
  1. 以复杂的方式使用一个非常简单的主题：同一个调但基本上为四个声部。
  2. 自指
哥德尔的结果造成的问题
  1. 没有一个足够强有力的形式系统是在下述意义中是完备的：能够把每一个真陈述都作为定理而重现在该形式系统中。
  2. 哥德尔使用的种种推理方法拒不卷入任何形式系统。
修改了的pq系统与不一致性
  1. 增加一条新的公理模型：若x是一条短杠串，则xqxp－是一个公理。
  2. 新系统与外部世界不一样。
  3. 旧公理与新公理有不协调的陈述：内部的不一致。
  4. 错误在对新系统使用了与旧系统一样的解释方法。旧公理使用这种解释方法是这种解释是的符号操作同构于他们所对应的概念。
  5. 重新解释系统中的某些符号
重新获得一致性
  1. 当q重新解释成小于或等于时，新解释为又意义的解释，并与内部一致，与外部世界一致。
欧几里得几何的历史
  1. 数学严格性
  2. 欧几里得几何中，给出的任何一个结构都仅仅依赖于出现在它之前的结果。
  3. 因为使用生活用脆造成词生出一些意向潜入证明。
  4. 四公设几何学，基于几何原理的前四条。
非欧几里得几何面面观
  1. 萨氏几何学：将第五公设设定成反面，知道证明矛盾时证明欧几里得第五公设的正确。
  2. 非欧几何学，摆脱先入为主的直线概念，萨氏命题不与直线的本质相抵触。
未定义项（仅有的意义是出现其中的命题灌输进去的）
  1. pq的新系统中q的意义随着公理增加而改变。
  2. 可用改变‘点’‘线‘的定义根据起中的定理（命题）的几何来决定。
  3. 平行公设 － 椭圆几何学，双曲几何学。（绝对的四公设几何学）
  4. 椭圆几何学：所有的点、线都可以认为是普通球面上的东西。
  5. 未定义项的完整定义仅贮存于公设中，因为导出的命题已经隐含于公设中了。
多重解释的可能性
  1. 几何学的完全形式化：每个词项都成为未定的
  2. 同构联系于形式系统中的符号可以发现除出现其中的定理而来的被动意义的其他意义。
  3. 符号可以有许多意义，但是取决于观察者的。
  4. 一致性不仅仅依赖形式系统的性质，还依赖于为之提出的解释。
各种各样的一致性
  1. 有解释的形式系统中的一致性：每个定理经解释后都是真陈述。
  2. 系统内部的一致性：内部的定理经过解释后是相容的。
假象的世界和一致性
  1. 内部的一致性有赖于外部世界的一致性。
  2. 外部世界允许任何想象世界。
  3. 逻辑一致性
  4. 认出内部不一致性，只需要某些解释。
形式系统中嵌入形式系统
  1. 有固定不变意义的词和意义有待调整的词（知道系统成为一致的）。
视知觉中的稳定层次
  1. 确定性的岛屿
  2. U方式：所有点、线都没有解释。
  3. 艾舍尔的画：结果与人们关于世界的概念不协调。
  4. 非欧几里得几何学：能找到对未定义项的可理解的解释。
数学在每个可想象的世界里都是一样的吗？
  1. 对于判断内部一致性的想象世界要求是数学逻辑与我们的现实世界一样。
数论在每个可想象的世界都是一样的吗？
  1. 存在一个核心数论，与逻辑一起包含在我们认为是可想象的世界里／绝对几何学的对应产物，皮亚诺算数。
  2. 数论具有标准数论和非标准数论。
  3. 宇宙的几何性质是背其内含的质量所确定的。
完全性
  1. 一致性是获得完全意义的最低条件，而完全性是最高条件。
  2. 每个能由系统中的概念表示出来的真陈述都是系统中的定理。
  3. 系统&解释，可证&定理
  4. 哥德尔不完全性定理指的是足够强有力的系统。
一个解释怎么就能达到或破坏完全性？
  1. 如果一个系统是一致的，但不完全，符号和其解释之间就会错配。
  2. 解释是否彻底
  3. 添加新规则／紧缩解释
形式化数论的不完全性
  1. 增加新规则使系统完全？

和声小迷宫

  1. 元＊：关于＊的＊
  2. 从高级到低级层层递减，到最低级是得到结果再层层反映到最高级得出最终结果
  3. 转调的目的在于建立一个暂时的终结而不是一种主调音的解决。
  4. 嵌套

第五章：递归结构和递归过程

什么是递归
  1. 用比事物简单一些的事物自身来定义这个事物
推入、弹出和堆栈
  1. 推出：停止工作，开始新工作
  2. 弹出：结束新工作，继续工作
  3. 信息储存在堆栈中，起着表格的作用。
  4. 返回地址：何处被打断
  5. 变量约束：打断处需要记住的
  6. 现场：打断处的环境
音乐中的堆栈
  1. 浅堆栈：最具全局性的调子－真正的主调音，最具局部性的调子－作曲家假装采用的调子。
  2. 伪解决：局部性调子的结束。
语言中的递归
  1. 建立精细的下堆栈
  2. 口语中经常重组语句是堆栈的深度达到最低限度。
递归迁移网
  1. 递归迁移网：描述递归结构和方式的过。RTN
  2. 结点：（通道中的小方块）或简单明了的写简单明了的操作说明，或写有其他RTN名称
  3. 过程条用：暂时让一个过程（名词的黑箱中抽取名词）
  4. 弹出递归
  5. 豪华名词RTN美欧无穷回归因为里面有一条不许调用它本身的通道。
终了和异构结构
  1. 递归因为定义中有一部分避免了自指，而循环不会。
  2. RTN大家族互相调用，形成没有最高层次和控制器，称为异层结构。
拓展结点
  1. 用结点所在的RTN副本代替结点。
  2. 避免无穷的图。
图案G和递归序列
  1. 斐波那契数列
  2. FIBO(n) = FIBO(n-1) + FIBO(n-2) 当n > 2
  3. FIBO(1) = FIBO(2) = 1
  4. 图案G：G(n) = G(G(N-1)) 当n>0
  5. G(0) = 0
  6. F，M彼此调用又调用自己本身。
def FIBO(n):
    if n == 1 or n == 2:
        return 1
    elif n == 0:
        return 0
    else:
        return int(FIBO(n-1))+int(FIBO(n-2))
 
#test for FIBO
for i in range(10):
    print(FIBO(i))
一个紊乱的序列
  1. 表面的紊乱下是否隐藏规律。
  2. 当递归走的越远时，Q(n) = Q(n-Q(n-1))+Q(n-Q(n-2)变成无意义的递归，因为其杂乱无章。
  3. 以有秩序的方式制造出混乱。
两个令人惊异的递归图（INT、G）
  1. INT(x):跳跃式，由无数个小的弯曲片段组成。
  2. 找出INT(x－n)＋n
  3. INT图是有本身的一个个副本（弯曲）组成，非循环。
  4. INT图形分为两部分：递归、副本在何处／怎样变化
  5. 用骨架来画曲线表示曲线弯曲的变化。
  6. INT：交换，设计埃塔序列、连分数的问题。
  7. INT在x所有的有理值上，是跳跃的，不连续的，但在所有的无理值上是连续的。
  8. G图表现磁场中晶体容许的电子能是什么？
  9. 没有磁场的晶体和没有晶体的磁场的电子都显示出周期性，
  10. 康托尔集
物质最低层次上的递归
  1. （假设）没有相互作用的粒子叫做裸粒子。
  2. 一个粒子如果不涉及其它粒子就无法给出定义，其它粒子则依靠最初的粒子定义。
  3. 重正化：裸粒子进行相互作用。
副本和同一性程序
  1. 一个东西的部分是这个东西自身的副本。
  2. 映射所抱持的不是功能块之间的精确比例，而是他们之间的功能关系。
  3. 什么时候两个东西是一样的？
  4. 递归：不同层次上的同一事情，但也有许多不相同。
设计与递归：模块性、循环、过程
  1. 把任务分解成子任务。
  2. 有界循环：一遍又一遍地的执行关联步骤，当遇到制定的条件时就会终止。
  3. 无限循环：自由循环，终止条件可能永远不会出现。
  4. 嵌套的循环
  5. 子程序、过程
  6. ATN‘扩充迁移网’，RTN配备参数等设施后，能对通道进行选择。
弈棋程序中的递归
  1. 自调用时需定义向前看多少步
  2. 超前搜索树
  3. 侯世达定律：做事所花的时间总是逼你预期的要长，即是你的预期中考虑了侯世达定律(´･_･`)
递归与不可预期性
  1. 一个集合是r.e.的，意思是它可以通过推理规则的重复使用从一集出发点（公理）之中产生出来。
  2. 递归与递归集的关系（递归可枚举）
  3. 不可预测性：内在不断增加的复杂性
  4. 足够复杂的程序可能会打破事先定下来的模式—智能
  5. 作用于自身的程序—智能，交织的递归

音程增值的卡农

  1. 每个人都有各自的方法来解释我们所接受的信息
  2. 真实的解释

第六章：意义位于何处

什么时候一个事物不总是同样的？
  1. 意义是一条信息所固有的，还是在心灵或及其与一条信息的相互作用中产生的？
  2. 一条消息是否具有客观意义。
信息携带者与信息揭示者
  1. pq系统中，定理是信息携带者，信息揭示者是解释过程。
  2. 唱片是信息携带者，唱机是信息揭示者。
  3. 同构和解码机制／信息揭示者能抽出来的信息和不能抽出来的信息。
遗传型和表现型
  1. 遗传型：DNA
  2. 表现型：蛋白质生成，DNA复制，细胞的复制，细胞类型的逐渐分化。
  3. 从遗传型到表现性的展开：渐进过程（递归）。
  4. 构造新的有机体的指令是以某种方式编码于DNA的结构中的。
异常同构和平凡同构
  1. DNA的结构与表现性结构同构（异常同构）。
  2. 平凡同构：一个结构的各部分可以很容易的对应于另一个结构的各部分。
自动唱机与触发器
  1. DNA中的遗传意义是一种隐含意义。
  2. DNA不断出发复制操作，最终形成表现性。
  3. 表现型一开始便潜藏于DNA中的信息的展现，或抽出。
  4. 太恐怖了，读不懂。
DNA和化学环境的必要性
  1. 从DNA中抽出内在信息（表现型信息）依靠复杂的细胞化学过程，而这种过程在DNA中是没有编码的。
  2. DNA类似自动唱机，信息存在从DNA中提取出来。
  3. 但一种观点是DNA内部具有强制性的内在逻辑。
一张假想的飞碟
  1. 不管能不能得到释读，原则上信息永远存在其中。
  2. 认为他不存在意义只是只是因为只是还不够丰富，不足以对付信息在储存、传输和展现过程中的各种可能性。
消息的层次理解
  1. 如何认出一个信息的存在？了解信息的框架？
  2. 成功释读：找到意义。
  3. 声音本身没有意义，意义在于作用在大脑，起到触发作用，激活某些结构，产生出我们所想表达的情感，理解其中的意义。
  4. 与我们的情感建立起不论何种意义下的对应关系。
“太空幻景”
  1. 偶然性乐曲：只代表其本身。
  2. 清晰的结构：模式，模块。
  3. 任何信息是否本质上都具有足够的内在逻辑？
  4. 如果一个消息有着足够强的内在逻辑，让某种高智能生物重新建立其环境，这段消息的意义就是该消息的固有性质。这条信息足够清晰，可以成功的被释读，得到的信息的意义是相同的，所以这时这条信息的意义是固定的，是这条信息的固有性质。
了不起的释读者
  1. 材料中存在着固有信息，无论是否能成功的释读。
  2. 意义来源于材料而非释读方法，所以无论是否能释读出来，用哪种方法进行释读，固有信息一直存在。
  3. 编码机制仅仅是占线材料中的意义。
  4. 释读结果具有必然性，因为一个内在逻辑足够强的材料是由固定内在消息。
  5. 意义在多大程度上以可以预测的方式作用于智能，他就在此程度上是对象的一部分。意义是材料本身的一部分。
任何消息都分三层
  1. 内在消息：预定要穿送的信息，而理解内在消息就是抽取其中的意义。消息的内在意义。
  2. 框架消息：理解消息框架是确认需要一种解码机制。外资奥消息是由信息携带者总体的结构特征隐含的传递的。
  3. 外在消息：理解外在消息就是（了解）建造解码机制，由消息中符号的模式及结构传递。风格，解码技术，帮助找到解码机制的信息。
  4. 外在消息为一种隐含消息，因为必须依靠外在消息先了解解码机制，外在消息是一组触发器。
薛定谔的非周期性晶体结构
  1. 是否能看到框架信息取决于：如果对象有几何形状，非周期性的晶体结构（存在序列），那么其中可能隐藏着一些内在消息。
三个层次上的语言
  1. 内在消息本身也可以提供线索和证据，但这些最多也不过是作用于发现瓶子的人的触发器。
  2. 外在消息不可能被任何显式的语言所表达。
意义的“自动唱机”理论
  1. 自动唱机理论：在理解内部消息之前，自动长期所包含的信息在内在消息背获取桌子前就加在其中了。
  2. 在使用任何规则之前，有一条规则告诉你如何来使用这个规则。
反驳自动唱机理论
  1. 大脑是是物理实体，他的运行收到物理规则控制，它在运动时无需备告知如何运行。
  2. 大脑原本就配备着一些硬件来识别哪些东西是消息，并进行解码。
  3. 大脑提供一些附加信息来进行释读。
若智能是自然的，则意义是固有的
  1. 对于相同的触发信号，人类大脑的反应有可能相同。
  2. 对于相同反应所形成的统一性“语言”，可用来截流框架信息和外在消息。
  3. 释读机制本身是具有普遍性的，一条消息的意义归因于消息本身。
地球沙文主义
  1. 意义是消息的一种固有属性。
  2. 地球沙文主义，地球中心观。
太空中的两块金属板
  1. 遗传型并没有包含对表现型的完整说明？
  2. 长遗传型：有比较充足的理由重建。
  3. 长遗传型具有足够的信息，能代够对智能生物进行触发。因为其不仅穿送了内在信息，还传送了外在信息。
  4. 外在信息的明确性一部分取决于信息的长度。
再谈巴赫之别于卡奇
  1. 内在逻辑的差别致使卡奇的曲子需要巨大的文化背景。
  2. 智能喜欢模式化，厌恶随机性。
  3. 作曲时考虑到可容忍的复杂程度，因为听众低于结构维度的把握是有限的。
  4. 遗传型是否包含了表现型上的展现过程所需要的全部信息？
DNA中的信息有多大的普遍性？
  1. 若要恢复一条信息，需要多大程度上理解他所处的环境？
  2. 实用意义
  3. 到底在哪个时刻遗传型以及那个达到货隐含了表现型？

半音阶幻想曲，及互格

  1. 处理句子，结合两个真句
  2. 如何正确的保留真值

第七章：命题演算

词与符号
  1. 并且、若...则...、或、非
  2. 只依赖于使用这四个词的推理，叫做命题推理。
字母表及命题演算的第一条规则
  1. 是析取符号∨∧是合取符号假如有两个命题P和Q,当且仅当P,Q同时为F是,P∨Q的真值为F,否则为T；当且仅当P,Q同时为T是,P∧Q为T,在其他情况下,P∧Q的真值为F.然后,析取∨可以理解为“可兼或”,合取∧可以理解为“且”。
  2. 连接规则：若x、y都是系统的定理，<x∧y>
良构串
  1. 原子：P、Q、R，新原子在PQR上加 ‘ 。P’、P‘’‘
  2. 如果x，y良构，四种串也是良构的。
  3. 追溯到最后都是它的基本原则－原子。
再给几条推理规则
  1. ∧＝并且
  2. ～＝非
  3. ～～可以任意添加在定理中，也可以从定理中删除。
幻想规则
  1. 幻想规则：无中生有的制造定理。
  2. 加入x时一个公理，用系统得出来的结论是定理。
  3. 由x推出来y时，x是幻想的前提，y是幻想的结果。
  4. 推导的最后一行（展现推倒结果）才是真正的定理，剩下的都是在定理中。
递归和幻想规则
  1. 幻想规则是可以递归的使用的：推入、弹出
  2. 可以有从高层次到低层次（现实到幻想）的搬入，但不可以有低层次到高层次（幻想到现实）的搬入。
  3. －> 若...则...
  4. 分离规则：modus pennens
  5. 幻想规则常常被称为演绎定理。
符号的预期解释
  1. ^ 与日常用词‘并且’起的作用相同。
  2. ～与非起的作用相同。
  3. < >分组
  4. v与或作用相同，或...或...或二者都是。
  5. 在命题演算中，所用的事情是纯粹‘符号地’做出来的，没有人会置身于符号中去考虑串的意义。
  6. 符号串是机械的，硬性规则的。
把规则的清单列全
  1. 易位规则
  2. 德·摩根规则
  3. 思维陀螺规则
  4. 可互换：如果一种形式的表达式作为定理或者定理的一部分出现时，就可以用另一种形式来替换，而且替换的串仍然是个定理。
半解释
  1. 解释命题演算的定理但不解释原子。
  2. 不管如何作出选择，最后所得的句子都将是真的。
  3. 不管我们怎样去吧解释作完全，最后的结果总是一个真语句。
岩头之斧
  1. 命题演算的能力。
存在一个队定理的判断过程吗？
  1. 命题演算的定理似乎完全没有内容。
  2. 命题演算不仅时基本的，而且是有规律的，因为她们可以用一组印符规则产生出来。
  3. 如果可以区分定理和非定理，就说明命题演算的的定理的集合是递归的。
  4. 真值表方法区分定理非定理。
我们知道系统是一致的吗
  1. 符号地被动意义。
  2. 每条规则都是使一个符号精确地按照它表示的那个词所应起的作用去起作用。
  3. 命题演算的一致性
再谈卡罗尔对话
  1. 你永远无法维护你的推理模型。
  2. 一个人永远无法给出一个最终的、绝对的证明，去阐释系统中的一个证明是正确的。因为最外层系统的有效性是一个未经证明的假设，凭借我们的信仰来接受的。
  3. 推理规则 ->符号串
捷径与导出规则
  1. 推导出的定理被当做一个“定理图式”，作为其它定理的模子。但其实上一是一条导出规则。
  2. 导出规则保证从一条定理得到另一条定理。
  3. 导出规则是一条普通意义上饿直观证明，以W方式进行推理。
  4. 这种关于命题演算的理论是一个元理论，而它里面的结果可以称为元定理。
  5. 导出规则是形式系统之外的。
  6. 形式系统：它明确地展示出一个证明的每一个步骤，而这一切都在一个唯一的，严密的构架中进行。
将更高层次形式化
  1. 把元理论形式化的定理。
  2. 分清层次，不可以假设符号在不同的层次之间划来划去。
对系统的长处和短处的思考
  1. 命题演算的简单性和精确性可以让数学家对它本身进行研究，并且进行扩充。
证明只别于推导
  1. 证明是用日常思维的产物，用非形式语言书写，给人听的。
  2. 推导是证明的人造对应物，通过逻辑的结构去达到雨证明同样的目的。
  3. 命题演算是综合人工证明之类的结构的一般方法的一部分。
  4. 因为从矛盾出发可
  5. 以得到任何东西，所以以命题演算为基础的系统里，是不能包含有矛盾的。
对付矛盾
  1. 跳出系统外对矛盾进行修复？
  2. 发现和修正矛盾加强了数学而不是削弱了数学。
  3. 某种东西可以从另外的某种关系推出，进党她们彼此有关联。
  4. 符合一致性和完全性。
  5. 较大系统的毛病而不是子系统命题的演算错误：不完全性和不一致性暴露出来。

螃蟹卡农

  1. 从前至后和从后之前的内容一样。
  2. 从形式技巧和层次游戏的角度讲，本票对话是本书中最紧凑的一篇对话。
  3. 哥德尔、艾舍尔、巴赫嵌为一体。
  4. 间接自指。

第八章：印符数论

螃蟹卡农和间接自指
  1. 印符数论：把数论表示在印刷符号中，简称TNT，Typographical Number Theory
  2. 由于哥德尔所发现的奇妙的映射，串的形式能在这个形式系统自身里面描述。
我们希望在TNT中都能表示些什么
  1. 数论这个术语仅仅只涉及正整数和零（以及这样的整数的集合）的性质，这些数被称为自然数。
  2. 区别开形式系统（TNT）和不是十分形式化，明确的数学分支N，即数论本身。
  3. 概念－>更为基础的概念。
  4. S－是他后面的东西的‘后继’。＋1
  5. 制造更多变元：可以在字母后面加‘，’‘，’‘’，...但如果只用a和‘虽然可以让公式变得简朴，但降低了可读性，使公式变的更难了。
  6. 一个公式不多不少就是TNT的串。
  7. 加法和乘法总被认为是二元运算因为只把两个数连接起来。
  8. N－非形式的数论中的标准符号容易读懂，但容易把这些符号的普通意义与形式符号的严格守规则管辖的行为相混淆。
  9. 不要混淆一个符号与随他而来的所有联想。
原子与命题符号
  1. 命题演算的所有符号除了PQR都将在TNT中使用。
  2. 原子，复合公式。
自由变元与量词
  1. 自由变元在句子中即不真也不假，需要为这个陈述指派一个真值。
  2. 带有自由变元的公式称为开公式。
  3. 在自由变元钱加上一个量词，存在一个、对于所有...这个公式称为闭公式。
  4. 存在断言：存在一个...使得...
  5. 全称断言：对于所有的...使得...
  6. 在量词的管辖下的变元称为一个量化变元，表达了真实的或虚假的断言。
  7. 带有自由变元的开公式翻译成正常语言是一个谓语，而闭公式是带有主语的句子。
  8. 断言要与自由变元一一对应。
翻译我们的例句
  1. 因为概念都有更为初级的概念，所以每一个橘子都能有无穷多的方式来表达。
  2. 等价性，同构
  3. 一个概念是否能称为定理受到其它定理的约束。
  4. 对于不同的概念，他们概念上可能是等价的，但对于TNT来说，它们是不同的串。
这一行中的窍门
  1. 否定和双重否定，～，～～
  2. 断言所有的数都有这个性质－全称断言，某个数－存在断言。
怎样区分真和假
  1. 一个能筛选出真公式和假公式的形式系统。
  2. 串在筛选时是一种制品，只有形式没有内容。
  3. 图18
一个非印符的系统
  1. TNT中：
  2. 没有任何的推理规则。
  3. 去数论的所有真语句来当做公式。
  4. TNT的整个目的就是要确定是否可能以及如何印符地刻划所有对应于真理的串。
五条皮亚诺公设
  1. 给出一个自然数性质的小小集合，从它出发推理。
  2. 半形式化。
  3. 0是一个自然数。
  4. 每一个自然数都有一个后继数。
  5. 0不是任何自然熟的后继数。
  6. 不同的自然数有不同的后继数。
  7. 如果0有X，那么美个自然熟都把X滴送给她的后继数，那么所有的神怪都将得到X。
  8. 造物神：自然数的集合。
  9. 皮亚诺的第五条公设就是数学归纳法原理继承性论证的另一说法。
  10. 怎样区别关于自然数的真陈述和假陈述句？
TNT中的新规则：特称和概括
  1. 规则在串的更加围观的性质打交道，而不幸命题演算的规则，吧原子当做不可分割的单位。
  2. 特称规则：全掉断言，但不包含被量化的变。
  3. 概括规则：把全部的的全称量词放回到一起，不允许对任何自由出现在该幻想的前提中的边缘做概括。
存在量词
  1. 互换规则：对于所有的u：～和～对于特定的u。
  2. 存在规则：假设一个项在一个定理中多次出现，那么这个项的任何出现都可以用一个不在定理里出现的变元来替代，相应的存在量词必须在我最后面。
等号规则和后继规则
  1. 等号规则：对称，传递
  2. 后继规则加S去S
非法的捷径为什么
  1. 在熟悉符号时，不可以跳的太快。
  2. 必须要遵守规则，而不是你关于符号的被动意义的知识。
对特称符号和概括要加性质
  1. 前提中的变元的概括。
少了什么东西w
  1. 不能判定的金字塔。
  2. 对于所有的a：（0+a）＝ a
  3. 全规则：对于金字塔的中的所有的串都是定理，那么，用来概述它们的全称量化的串同样也是定理。
  4. 全规则不能再J方式下使用。
不完全系统与不可判定串
  1. 我们可以印符的产生关于任何特定的数之间相加的定理，但不能产生表达加法性质的串。
  2. pq系统的符号体系也无法表示加法的一般性质。
  3. 对于这种类型缺陷的系统为w不完全性。
  4. w不完全性：肯定以及否定，一个系统是w不玩性的，如果一个在金字塔中的所有串都是定理，而全称量化的概述串确不是一个定理。
  5. 判定的，不可判定的。
  6. 不可判定知识给系统一个可以扩充的标志。
  7. 可能对于符号的理解不是单值，代入了先入为主的意义。
非欧几里得TNT
  1. 我们曾沿用的记号使我们带上了某些成见。
  2. 如果采用第六公理，这种塔和公理之间的不一致并不是真正的不一致，而是存在一种解释符号的方法，使每件事情都顺利成章的。
w不一致性与不一致性不是一回事
  1. 金字塔断言所有的自然数具有某些性质，单个定理断言并非所有的自然数具有这种性质
  2. TNT公理和规则并没有完全固定住对TNT符号的解释。
  3. 有解释的形式系统中的一致性：每个定理经解释后都是真陈述。
  4. 系统内部的一致性：内部的定理经过解释后是相容的。
最后一条规则假设塔的每一行都是通过某种模式话的方法从前一行推出来的。
  1. 金字塔的每一行都是一个定理。
  2. 我们需要一个规则，推出那个概述了金字塔的串本身也是个定理。
  3. 归纳规则：良构公式：替换自由变元，X｛0/u｝：替换前、后、0
TNT的紧张与解决
  1. 呼吸记号＊＊＊＊推导里的转折点
  2. 没看到新一行都会有进一步走向的感觉，建立了一个内部的紧张。
  3. 数学家对紧张的认识是和他对美的认知密切相关的，并且正式这种东西使得数学值得花力气去做。
  4. TNT并没有讲紧张和解决，目标和子目标，自然性和被迫性等概念形式化。
形式推理之别于非形式推理

  1. 进行了彻底的形式化之后，唯一可行的就是放松形式化的规则。否则系统会过于庞大而笨重，以至于对任何的目的而言都是毫无用处的。
  2. 把思维模式放进TNT中进行工作时，更像是在进行传统的数论工作。
数论专家赋闲
  1. 把句子翻译成TNT语句，就能为数论的一切东西造一个判定过程。
  2. 完全性
  3. TNT是不完全的，如果TNT完全，就能用J方式解决所有问题。
希尔伯特方案
  1. 信赖TNT？通过证明他是一致的增强对他的信任。
  2. 对TNT的一致性的疑问就是对我们自己头脑清醒程度的疑问。
  3. 我们自己的形式过程是非一致的。
  4. 只能用比TNT弱的推理系统去证明TNT是一致的。
  5. 使用一个非常受限制的推理原则的集合来证明类似于TNT形式化数论的一致性，这被称为推理的有穷方法。

一首无的奉献

  1. 定理与非定理、真与假、数论中的串
  2. 禅想：从对怪圈的分析试中跳出来。
  3. 无我状态：不执着于任何客体、思想或人，不坚信或执着于任何事物。
  4. 第二个图形应该是五角形吧。
  5. 转录和翻译
  6. 在使用负的方法之前。哲学家或学哲学的学生必须通过正的方法；在达到哲学的单纯性之前，他必须通过哲学的复杂性。
  7. 公案－转录－>信使－翻译－>折叠的串
  8. 能得出近乎公案的串称为良构
  9. 一指禅：老和尚指一个手指意思是当他举出一个手指时，每个人看到的领悟到的都是不同的，但每个人都具备看到、思考的能力，从而体现出了“觉”。万法归一，一归空。
  10. 庭前柏树子：指庭园中有许许多多的树，都可以乘荫的。指可以以无数种不同的方法寻求禅宗的真谛。
  11. 一致性

第九章：无门与哥德尔

什么是禅宗？
  1. 没有任何办法能概括禅宗是什么。
  2. 公案是禅宗探究的中心部分，公案是当作触发器，本身并不含有足够的信息以得到顿悟，但它们可能足以揭开人们心中的导致顿悟的机制。
  3. 禅宗观点认为词语和真理是不相容的（类似无的奉献中的指、树）。
无门禅师
  1. 无门禅师在每个公案后面都加了评注和一小段“颂“。
  2. 颂（元语言－无门本身的语言）本身与公案（对象语言）一样晦涩。
  3. 南泉和尚：本身自指，不仅评论了南泉的话，也阐明了自身的无效性。
  4. 正确性和真理之间的区别？
禅宗反对二元论的斗争
  1. 顿悟：超越二元论
  2. 二元论：把世界从概念上分划为种种范畴。
  3. 二元论不仅是概念上对世界的划分，也是感知觉上对世界的划分。
  4. 禅宗认为对词的使用必然造成二元论。
  5. 禅宗利用公案为反对二元论作斗争。
  6. 顿悟的敌人是二元化（知觉）。
  7. 称名字显得像是捕获了实在，而世界上这样的陈述缺根本连表面都未能触及。不称名字无视了特征。
  8. 如果依赖词语得到真理，就像依赖不完全系统，不能得到所有的真理。
  9. 无论一个形式系统多么强有力，他都不能给出所有的真理。
二元论定义
与二元论相对的一元论
主义、无方式以及云门
  1. 主义：反哲学的，是一种摒弃感知，摒弃逻辑、词语、二元化的思维。
  2. 无方式：U方式：非智能、非机械。
  3. 禅宗采纳整体论，逻辑上走向极端。
  4. 顿悟状态意味着自我与宇宙之间的分界消失了。
禅宗与堕界
  1. 禅宗和系统的局限。
  2. 禅宗是一个系统，不是他自己的元系统，禅宗之外还存在东西，但无法在禅宗内说清楚。
  3. 质疑感知
艾舍尔与禅宗
  1. 艾舍尔对待事实与非事实的方式与禅宗一样。
  2. 水中的月亮（桶里无水，水中无月）。
“三比二”与艾舍尔
  1. 六个一组的等长音符在音乐中造成歧义，三个一组还是两个一组？称为“三比二”。
  2. 进行到“辞”中间时，既不是三，也不是二，而是变成了一个单质。
  3. “辞”自指
因陀罗之网
  1. 佛教中的因陀罗指望就象征着遍布宇宙的一章无穷无尽的线网，水平的线穿过空间，垂直的线穿过时间。
  2. 线与线的交汇处是明珠，反映着遍布宇宙的每一反映的每一反映...
  3. 每个人都有个网，每个网都含有对其他网的调用。
  4. 每个ATN上都包上了一个ATN的虚云。
从无门到WU谜题
  1. WU是否有定理行？不！
  2. WU困难出在与加长规则和缩短规则的交织。
  3. 借助数论解决WU谜题。
无门告诉我们如何解开WU谜题
  1. 把WU谜题转换到数的领域
  2. J的数量＝WU谜题的眼数，不可能是0，也不可能是3的倍数。
  3. 无论是规则II还是规则III都不能无中生有的生成3的倍数。
对WJU系统进行哥德尔配数
  1. 有一种方法可以把所有的关于任何形式系统的问题都嵌入数论。
  2. 通过同构得到的串有一种二重性。
从印符和算数两个角度看问题
  1. 讲印符规则与算数规则同样效果。
  2. 二重性指可以同时视为印符操作和算数操作。
  3. 中心命题：若有一条音符规则，他在任一十进制表示的数中移动、改变、删除或插入数码，那么这条规则可同样由一套算数规则来代替，后者包括对10的方幂的算数运算以及加、减等运算。
  4. 用于数字的印符规则等同于用于数的算术规则。
WJU可产生的数
  1. 一集相应的自然数可通过重复使用算数规则而生成。
  2. “WJU”数：意指这些数是吧WJU系统通过哥德尔配数转入数论的产物。
  3. 对每个算数化了的系统都可以问，“我们能否用一种递归可枚举的办法刻画不可产生的数”？
咨询TNT以解答有关可产生的数的问题
  1. 一个巨大的谈论WU谜题的TNT符号串称之为“无朋”。
无朋的两重性
  1. 无朋有两种不同的被动意义。
  2. 无朋也可以从（至少两）个完全不同的角度来理解。
  3. WU－>哥德尔同构编码－>TNT
编码与隐含意义
  1. 事实上，在现实中不怒在什么未编码的消息，只有用较熟悉的编码编的消息和用不太熟悉的编码编的消息。
  2. 我们对TNT符号的偏见如此之深，只看到TNT符号串中的数论意义，并且仅仅是数论意义，以至于很难接受某些TNT符号串是关于WJU系统的陈述。
  3. 哥德尔的同构是一种新的信息揭示者，如同古代文本的释读是信息的揭示者一样。
自食恶果：对TNT系统进行哥德尔配数
  1. 我们对TNT像对WJU系统一样进行哥德尔配数，然后把其推理规则算数化。
  2. 每个TNT符号犹豫友1、2、3和6组成的一个三位数配对，这三位数称为哥德尔密码子。
  3. 在这种记法下挑出良构的公式实际上就是挑出一类特定的整数，对一类证书当然也有算数刻画方式了。
  4. 每个规则都是对杂乱的算术操作进行描述的一种浓缩方式。
TNT数：数的一个递归可枚举集
  1. 对于TNT数的推导就是一系列高难度的数论比那话，每个变换都作用在一个或多个座位输入的数之上，给出输出的数，称为TNT数。
  2. 对TNT的算数化实际上与对WJU系统的算数化机器相似，只不过是由更多的规则和公理。
  3. 在TNT数前加一个弯号，得到的串该是表示一个互补的命题。
  4. 连接TNT数语TNT定理的同构，这个串还有第二层意义：S0=0不是TNT定理。
TNT试图吞掉自己
  1. 我们在外面用语谈论TNT元语言，多少事部分地在TNT内部遭到了模仿。
  2. 任何形式系统的建构都可以在N（数论）中反映出来。
  3. TNT的一个串中有关于N中的解释，而N中的一个概述可以用一个第二意义，即座位关于TNT的陈述。
G：以编码方式谈论自身的符号串
  1. G：关于TNT本身的串。
  2. G，不是TNT定理。
G的存在就是导致TNT不完全的原因
  1. TNT中一件自指的东西会有什么后果？
  2. 无需信赖TNT中可能的串，仅仅信任定理。
  3. 任何在TNT中称为定理的东西都表示了一个真理。
  4. G，～G
无门来说最后一句
  1. 无门也跨入了不可判定性。

下篇：集异璧EGB